Откуда взялись неевклидовы геометрии?

Около 300 года до нашей эры, то есть 2400 лет назад, древнегреческий математик Евклид написал свои знаменитые «Начала». Они были образцом математической строгости более 2 тысяч лет. В качестве постулатов, то есть утверждений, принимаемых без доказательств, Евклид выбрал утверждение о том, что каждый может выполнить простейшие геометрические построения. Например:

1) через две точки всегда можно провести прямую линию;
2) из данной точки данным радиусом можно описать окружность
и т. д.

Геометрию Евклида часто называют геометрией циркуля и линейки. Самым спорным оказался 5-й постулат, который звучал так: если две прямые лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180°), то при продолжении прямые пересекутся с той стороны, где сумма меньше 2d. Или проще: через точку вне прямой в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую, которая не пересекается с данной.

Все доказательства этого постулата были несовершенными. Или в них содержалась прямая ошибка, или они опирались на новое предложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида.

Неожиданное решение этого вопроса родилось только в 1820-х годах. Три великих геометра Николай Лобачевский, Карл Гаусс и Янош Бойяи независимо друг от друга пришли к выводу, что геометрия Евклида - не единственная. Возможно построить и другие системы геометрии, такие же стройные и непротиворечивые, как Евклидова.

В 1831 году отец Яноша Бойяи математик Фаркаш Бойяи послал оттиск
работы сына под названием «Аппендикс» своему давнему другу,
«королю математиков» Карлу Фридриху Гауссу и получил такой ответ:
«Оценить это — всё равно что оценить себя. Потому что всё, что там написано,
совпадает с моими собственными размышлениями последних 30-35 лет на эту тему».

В геометрии Лобачевского вместо 5-го постулата Евклида выбран новый постулат о том, что через точку можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данной.

Николай Иванович Лобачевский. Портрет кисти Л. Д. Крюкова

В 1860-х годах немецкий математик Бернхард Риман пошел еще дальше. Вместо предложенного трехмерного пространства он начал строить геометрии пространств любого числа измерений. Он построил и геометрию, в которой нет параллельных прямых. Эта геометрия похожа на сферическую, и ее чаще всего называют эллиптической.

В нелинейной геометрии Римана:

- две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых не существует;
- прямая имеет конечную длину, а плоскость - конечную площадь;
- сумма углов прямоугольного треугольника больше 180°