Линейная и угловая скорости

Установим связь между линейной и угловой скоростью вращения. Для этого вначале мы установим на диске две точки, 1 и 2, на одинаковом расстоянии от центра диска, равном радиусу диска R. Повернем диск на угол φ. Угловое перемещение равно φ. На такой угол повернулся как радиус, соединяющий центр диска с первой точкой, так и радиус, соединяющий центр диска со второй точкой. За одно и то же время угловое перемещение точек одинаково и равно φ. Поэтому угловая скорость ω₁ будет равна угловой скорости ?₂, угловой скорости вращения второй точки, и будет равна φ/t. Одинакова будет и линейная скорость V₁ и V₂, абсолютная величина линейной скорости обеих точек, первой и второй, V₁ и V₂, поскольку обе точки пройдут за время t одинаковый путь S вдоль дуги. Поэтому S/t, то есть абсолютная величина линейной скорости V₁ и V₂ будет так же одинакова. Мы поэтому можем сделать вывод, что если точки находятся на одинаковом расстоянии от центра диска, то при его вращении они будут иметь одинаковые как угловую, так и линейную скорости.

Переместим вторую точку, расположив ее ближе к центру, на расстоянии r от центра, и вновь повернем диск на угол φ. Вы видите, что и в этом случае обе точки совершили одно и то же угловое перемещение φ, и поэтому угловая скорость обеих точек будет одинакова. ω₁, это угловая скорость первой точки, будет равняться ω₂ - угловой скорости второй точки, будет равняться φ/t, где φ - угловое перемещение этих обеих точек.

Но путь, который пройдут эти точки, теперь разный. Обратите внимание, какой путь проходит вторая точка при повороте, вот эта серая дуга, вторая точка, и какой путь при повороте проходит первая точка. Она явно проходит больший путь, S₁ > S₂. Поэтому модуль линейной скорости первой точки, равный отношению пройденного пути S₁ к t, где S₁ - это произведение радиуса на угол поворота φ в радианах, и отношение φ/t - это угловая скорость ω. Поэтому, еще раз говорю, модуль линейной скорости первой точки V₁ будет равняться R * ω, в то время как модуль линейной скорости второй точки V₂ будет равняться r * ω, у второй точки будет меньшая линейная скорость, чем у первой.

Мы видим, что при вращении диска все точки вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, все без исключения. В то же время точки, отстоящие от центра на различные расстояния, имеют различную линейную скорость. Линейная скорость при этом пропорциональна радиусу - расстоянию от точки до центра, и выражается как произведение этого расстояния r на ω.

Расположим теперь точки 1 и 2, первую и вторую точки, на разных дисках. Верхнюю первую точку мы поместим на краю большого диска, верхнего, радиуса R, а вторую точку мы поместим на краю нижнего малого диска с радиусом r, отношение R к r примерно равно 2. Эти диски связаны ременной передачей, и если приводить во вращение один из дисков, то при этом будет вращаться за счет ременной передачи и второй диск тоже.

Приведем во вращение диски и заставим нижнюю точку, вторую, совершить полный оборот вокруг центра этого диска.

Нижняя вторая точка совершила один полный оборот, ее угловое перемещение равно 2π радианов, в то время как угловое перемещение верхней первой точки меньше, потому что радиус верхнего диска больше. Но пути, пройденные этими точками, S₁ и S₂, одинаковые за счет ременной передачи. Какой путь прошла первая точка на краю верхнего диска, такой же путь прошла и нижняя точка, вторая, расположенная на краю малого диска. S₁ = S₂ = S, и поэтому если поворот произошел за время t, шло равномерное вращение в течение времени t, то мы получаем, что модуль линейной скорости первой точки V₁ будет равен модулю линейной скорости второй точки V₂ (мы можем обозначить модуль этих скоростей через V) и этот модуль линейной скорости будет равен отношению пройденного пути по дуге S, деленному на t. S одинаково, t одинаково - одинаково V для этих точек.

Линейная скорость у этих двух точек одинакова, но угловая скорость у этих двух точек будет разная, поскольку они совершат за одно и то же время t различные угловые перемещения. Верхняя точка повернулась на угол φ₁, который несколько больше, чем π радианов, и поэтому ее угловую скорость ω₁ можно выразить следующим образом. φ₁ - это пройденный по дуге путь, это длина дуги, деленная на R, это φ₁. С другой стороны, S - пройденный путь, деленный на время, - это линейная скорость, поэтому, заменяя отношение S/t через V, мы можем записать, что ω₁, угловая скорость вращения первой точки, равняется V/R. Точно так же для второй точки мы можем записать, что ω₂ = V/r. Мы видим, что при одинаковых линейных скоростях V угловые скорости обратно пропорциональны радиусу.