Математика в цирке

Я знаю, что ряды «бездушных» формул отпугивают иных любителей физики. Но, отказываясь от знакомства с математической стороной явлений, такие недруги математики лишают себя удовольствия заранее предусматривать ход явления и определять его условия. В данном, например, случае две-три формулы помогут нам в точности определить, при каких условиях возможно успешное выполнение столь удивительного трюка, как пробег в «чертовой петле».

Приступим же к расчетам.

Обозначим буквами те величины, с которыми придется вести расчеты:

«Чертова петля». Внизу слева – схема для расчета.

буквой h обозначим высоту, с которой скатывается велосипедист;

буквой х обозначим ту часть высоты h, которая возвышается над верхней точкой «петли»; из рисунка очевидно, что x = h – АВ;

буквой r обозначим радиус круга петли;

буквой m – общую массу артиста вместе с велосипедом; вес их выразится тогда через mg, причем:

буквой g обозначено ускорение силы земной тяжести;

оно равно, как известно, 9,8 м/с за секунду;

буквой v обозначим скорость велосипеда в тот момент, когда он достигает самой верхней точки круга.

Все эти величины мы можем связать двумя уравнениями. Во-первых, мы знаем из механики, что скорость, которую приобретает велосипед к моменту, когда, катясь по наклонной дорожке, он находится в С на уровне точки В (это положение изображено в нижней части на рисунке), равна той, какую он имеет в верхней части петли, в точке В. Первая скорость выражается формулой *

или v² = 2gx

Следовательно, и скорость и велосипедиста в точке В равна √2gx, т. е. v² = 2gx

Далее, для того чтобы велосипедист, достигнув высшей точки кругового пути, не упал вниз, нужно, чтобы развивающееся при этом центростремительное ускорение было больше, нежели ускорение тяжести, т. е. надо, чтобы v²/r > g, или v² > gr.

Но мы уже знаем, что v² = 2gx; следовательно, 2gx > gr или x > r/2.

Итак, мы узнали, что для успешного выполнения этого головоломного фокуса необходимо устроить «чертову петлю» так, чтобы вершина наклонной части пути возвышалась над верхней точкой петли больше чем на 1/2 ее радиуса. Крутизна наклона роли не играет, – нужно только, чтобы пункт, с которого велосипедист начинает спускаться, возвышался над вершиной петли больше чем на 1/4 ее поперечника. Если, например, петля имеет в поперечнике 16 м, то артист должен начать спуск пе меньше чем с 20-метровой высоты. Не выполни он этого условия, никакое искусство не поможет ему описать «чертову петлю»: достигнув ее верхней части, он неминуемо упадет.

Расчет этот не учитывает влияния силы трения в велосипеде: считается, что скорости в точке С и точке В одинаковы. Поэтому нельзя слишком удлинять путь и делать очень отлогий спуск. При отлогом спуске в результате действия трения скорость велосипеда по достижении точки В будет меньшей, чем в точке С.

Надо заметить, что при исполнении этого трюка велосипедист едет без цепи, предоставляя машину действию тяжести: ни ускорять, ни замедлять своего движения он не может, да и не должен. Все его искусство в том, чтобы держаться середины деревянной дорожки; при малейшем уклонении артист рискует съехать с дорожки и быть отброшенным в сторону. Скорость движения по кругу весьма велика: при круге с поперечником 16 м ездок совершает оборот в 3 секунды. Это соответствует скорости 60 км в час! Управлять велосипедом при такой скорости, конечно, мудрено; но этого и не надо; можно смело положиться на законы механики. «Сам по себе велосипедный трюк, – читаем мы в брошюре, составленной профессионалом, – при правильном расчете и прочной конструкции аппарата не опасен. Опасность трюка лежит в самом артисте. Если рука артиста дрогнет, если он будет взволнован, потеряет самообладание, если ему неожиданно сделается дурно, то можно ожидать всего».

На этом же законе покоится всем известная «мертвая петля» и другие фигуры высшего пилотажа. В «мертвой петле» первостепенную роль играет правильный «разгон» пилота по кривой и умелое управление самолетом.

* При этом мы пренебрегаем энергией вращающихся ободов велосипедных колес; влияние этого обстоятельства на результат расчета незначительно.