Задача 150. Обруч вокруг экватора

На первый взгляд может показаться, что зазор будет настолько маленьким (ведь 10 м — это почти ничто по сравнению с 40 000 км), что в него не сможет пролезть не только человек, но даже кошка. На самом же деле величина зазора будет приблизительно равна 1,6 м, т.е. человек не только сможет пролезть в него, но даже пройти (может быть, слегка наклонив голову). Как известно, длина окружности равна 2πR, где R — ее радиус. Значит радиус окружности равен: l/2π, где l — длина окружности. Таким образом, длина окружности и ее радиус находятся в отношении прямой пропорциональности, но при этом радиус меньше длины. Увеличение длины экваториального обруча — это увеличение длины окружности. Пользуясь вышеприведенной формулой, легко установить увеличение ее радиуса, которое будет величиной зазора, образовавшегося между обручем и поверхностью земного шара. Произведя простые подсчеты, вы увидите, что при увеличении длины экваториального обруча всего на 1 м, его радиус увеличивается приблизительно на 16 см. В такой зазор может пролезть кошка. Увеличение длины обруча на 10 м (как в условии задачи) увеличивает зазор приблизительно на 1,6 м, и в него может пройти человек. Если же длина экваториального обруча увеличится на 100 м, то величина зазора будет приблизительно равна 16 м. В такой зазор вполне сможет «пролезть» пятиэтажный дом. Эта задача будет еще удивительнее и парадоксальнее, если ее сформулировать так. Земной шар стянут обручем по экватору, и точно так же «по экватору» стянут обручем апельсин. Представим, что длина каждого обруча увеличилась на 1 м. При этом между поверхностями этих тел и их обручами образуется зазор. В каком случае этот зазор будет больше — у земного шара или апельсина? Кажется несомненным, что больше он будет у апельсина. Однако на самом деле в обоих случаях он будет одинаковым, равным примерно 16 см. Доказать это нетрудно. Пусть длина окружности земного шара равна I м, а апельсина 1 м. Тогда радиус Земли R = L/2π, а радиус апельсина r = l/2π. После увеличения длины обруча на 1 м окружность обруча у Земли будет L + 1, а у апельсина 1 + 1, радиусы их, соответственно, будут (L + 1)/2π и (1 + 1)/2π. Если из новых радиусов вычесть прежние, чтобы получить величину зазора, то результат и для Земли, и для апельсина будет одним и тем же:

Этот поразительный результат является следствием постоянства отношения длины окружности к ее радиусу.