Все для детей
ГлавнаяГоловоломкиДля школьниковЗадачи на взвешивание

Задачи на взвешивание

Для решения этих головоломок советуем приготовить бумагу и ручку. Они вам пригодятся, чтобы перебирать комбинации взвешиваний и переливаний наглядно!
1

Имеются 10 металлических кубиков, одинаковых по внешнему виду. Некоторые из них алюминиевые, а остальные — железные (более тяжелые). Требуется определить число железных кубиков, произведя не более 6 взвешиваний на чашечных весах.

ОТВЕТ

Возьмем два любых кубика и сравним их на весах. Возможны такие два случая:
1) кубики имеют разный вес;
2) кубики имеют одинаковый вес.
В первом случае сразу же становится известным один железный кубик — тот, который тяжелее. Далее разделим оставшиеся 8 кубиков на 4 пары и вес каждой из них сравним с весом двух первых кубиков. Если выбранная пара кубиков окажется тяжелее, то в ней оба кубика железные, если она такого же веса, то в ней один кубик железный, а второй — алюминиевый, и наконец, если — легче, то в рассматриваемой паре оба кубика алюминиевые. По результатам проведенных взвешиваний уже будет нетрудно подсчитать число как железных, так и алюминиевых кубиков. Заметим, что в этом случае для решения задачи потребуется лишь 5 взвешиваний.
Рассмотрим теперь второй случай. Будем последовательно сравнивать вес первой пары кубиков с весом каждой из оставшихся четырех пар кубиков до тех пор, пока не будет найдена пара кубиков другого веса (такая пара обязательно найдется, поскольку среди имеющихся 10 кубиков есть как железные, так и алюминиевые кубики). Если новая пара окажется тяжелее, то первые кубики — алюминиевые, а если легче, то — железные. Поиск указанной пары кубиков потребует от одного до четырех взвешиваний.
Сравним на весах между собой вес кубиков новой пары (еще одно взвешивание) и возьмем тот из них, который отличается по весу от кубиков первой пары.
Составим пару из кубиков разного веса и сравним с ней все остальные пары (если такие еще есть). Нетрудно подсчитать, что для выполнения указанных действий достаточно произвести 6 взвешиваний.
2

Имеются 10 мешков со старинными монетами, в одном из которых находятся фальшивые монеты, а в остальных мешках — настоящие. Вес настоящей монеты — 10 г, а фальшивой — 9 г. Как на рычажных весах, снабженных шкалой и указателем величины разновеса, при помощи одного взвешивания определить мешок с фальшивыми монетами ? (Монеты из мешков можно доставать).

ОТВЕТ

На одну чашу весов положить 2 монеты из второго мешка, 3 монеты — из третьего, ..., 7 монет — из седьмого мешка, а на вторую чашу весов положить 8 монет из восьмого мешка, 9 монет — из девятого и 10 — из десятого.
Если фальшивые монеты находятся в первом мешке, то чаши весов будут находиться в равновесии, указатель разновеса покажет 0, так как на каждую чашу положены монеты, общий вес которых составляет ровно по 270 граммов.
Если же первый мешок содержит настоящие монеты, то указатель разновеса укажет на ненулевую величину разности весов монет, находящихся на чашах весов. При этом на более легкой чаше весов находятся фальшивые монеты, а порядковый номер мешка, из которого они взяты, равен показанию разновеса.
3

Имеются три сосуда вместимостью 3, 5 и 8 литров. Последний из них заполнен молоком. Как отлить точно 4 литра молока?

ОТВЕТ

Последовательность операций по переливанию молока между имеющимися емкостями представлена в следующей табличке.
8 5 3
0 8 0 0
1 3 5 0
2 3 2 3
3 6 2 0
4 6 0 2
5 1 5 2
6 1 4 3
7 4 4 0
4

Имеется бочонок, наполненный 10 литрами вина. Как при помощи двух ведерок емкостью 7 и 3 литров отлить 5 литров вина?

ОТВЕТ

Последовательность операциq по переливанию вина между имеющимися емкостями представлена в табличке, в верхней строке которой указаны эти емкости, а в последующих строках — порядковый номер операции и количество вина в каждой емкости.
10 7 3
0 10 0 0
1 7 0 3
2 7 3 0
3 4 3 3
4 4 6 0
5 1 6 3
6 1 7 2
7 8 0 2
8 8 2 0
9 5 2 3
10 5 5 0
5

Имеются два ведра, емкостью 9 и 4 литров. Как с их помощью принести из колодца ровно 6 литров воды?

ОТВЕТ

Последовательность операций по заполнению ведер водой и их опорожнению представлена в табличке:
9 4
0 0 0
1 9 0
2 5 4
3 5 0
4 1 4
5 1 0
6 0 1
7 9 1
8 6 4
9 6 0
6

Имеющиеся 9 кг крупы только за 3 взвешивания при помощи чашечных весов с гирями в 50 и 200 г распределить по двум пакетам: в один — 2 кг, а в другой — 7 кг.

ОТВЕТ

Первое взвешивание (без гирь): разделить крупу на две равные части по 4,5 кг.
Второе взвешивание (без гирь): одну из получившихся частей разделить пополам — по 2 кг 250 г.
Третье взвешивание: от одной из частей весом в 2 кг 250 г при помощи двух имеющихся гирь отвесить 250 г.
7

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью (2 - √2) л и √2 л, перелить из одной бочки в другую ровно 1 л жидкости?

ОТВЕТ

Нельзя.
В результате всех переливаний из одной бочки в другую будет перелито v = m(2 - √2) + n√2 литров жидкости, где m и n — целые числа. Если m = n, то v = 2m — четное число, а если m ≠ n , то v — иррациональное число. Поэтому в любом случае значение не может быть равно 1.
8

а) Цепочка с незамкнутыми концами состоит из 13 звеньев. Каждое звено имеет массу 1 грамм и может быть разомкнуто.
Какое минимальное количество звеньев цепочки нужно разомкнуть, чтобы, пользуясь образовавшимися частями цепочки как разновесами, можно было бы на чашечных весах уравновесить груз, масса которого в граммах выражается любым целым числом от 1 до 13 ?
б) Если цепочка с незамкнутыми концами состоит из N однограммовых звеньев, то какое их минимальное количество достаточно разомкнуть, чтобы, используя полученные части цепочки как разновесы, можно было бы на чашечных весах уравновесить груз, масса которого в граммах выражается любым целым числом от 1 до N?

ОТВЕТ

а) 1 звено. Следует разомкнуть четвертое звено цепочки. Образуются разновесы в 1, 3 и 9 граммов.
Действительно, любое целое число отрезка [1,13] можно представить в виде алгебраической суммы чисел 1, 3 и 9 (знак минус означает, что соответствующий разновес помещается на ту же чашку весов, что и взвешиваемый груз).
1 = 1, 2 = 3 - 1; 3 = 3; 4 = 3 + 1, 5 = 9 - 3 - 1, 6 = 9 - 3, 7 = 9 -3 + 1, 8 = 9 - 1, 9 = 9, 10 = 9 + 1; 11 = 9 + 3 + 1, 12 = 9 + 3, 13 = 9 + 3 + 1.
б) Наименьшее количество звеньев цепочки длины N, размыкания которых достаточно для выполнения требования задачи, равно наименьшему натуральному числу, при котором выполняется неравенство
Неравенство (1)

Доказательство. После размыкания цепочки в m местах, дополнительно к m раскрытым звеньям будут получены еще m + 1 куска этой цепочки, состоящие из n1, n2, ..., nm, nm + 1 звеньев. Очевидно, если цепочка состояла из N звеньев, то
m + n1 + n2 + ... + nm + 1 = N, (2)
а порядковый номер ti ее i-го размыкаемого звена можно вычислить по формуле
ti = ti-1 + ni + 1 для любого i = 2, 3, ...,m, (3)
а t1 = n1 + 1. Поэтому, приняв во внимание равенство (2),
tm + nm+1 = N (4)
Не ограничивая общности, можно считать, что
n1 ≤ n2 ≤...≤ nm
(длину (массу) nm + 1 последнего куска N-звенной цепочки можно определить из равенства (2) или (4)).
Используя m разомкнутых звеньев цепочки на чашечных весах, можно уравновесить груз, выраженный в граммах любым целым числом от 1 до m.
Если же использовать m разомкнутых звеньев цепочки и ее n1 -звенный кусок, то можно уравновесить груз, выраженный в граммах любым целым числом из интервала и [1,m] и [n1 - m, n1 + m] (здесь предполагается, что n1 > m). Если при этом n1 = 2m + 1, то, используя лишь указанные части цепочки, можно уравновесить груз, масса которого в граммах выражается любым целым числом из интервала [1, Зm+1]. Этот интервал представляет собой объединение непересекающихся интервалов [1,m] и [n1 - m, n1 + m] и имеет длину m + n1 = 3m + 1.
Руководствуясь аналогичным правилом, можно подобрать длину n2 второго куска цепочки: значение n2 должно быть таким, чтобы, во-первых, используя лишь m разомкнутых звеньев цепочки и ее n1- и n2-звенные куски, можно было бы уравновесить груз, масса которого в граммах выражается любым целым числом из интервала [1, n2 + n1 + m] и, во-вторых, чтобы интервал [n2 - n1 - m, n2 + n1 + m] не имел общих точек с непересекающимися интервалами [1,m] и [n1 - m, n1 + m]. Эти условия, очевидно, выполняются в том и только в том случае, когда n2 - n1 - m = n1 + m + 1, то есть, если n2 = 2n1 + 2m + 1 = 3n.
В общем случае длина ni+1 (i+1)-го куска цепочки должна быть такой, чтобы, используя лишь m ее разомкнутых звеньев и куски длины {nj}, j = 1, ..., i, можно было бы уравновесить груз, выраженный в граммах любым целым числом из интервала , и чтобы интервал не имел общих точек с интервалом . Отсюда следует, что , и поэтому
(6)
Итак, используя m разомкнутых звеньев заданной цепочки и ее куски длиной n1, n2 ..., nm, на чашечных весах можно уравновесить груз, величина которого в граммах принимает любое целочисленное значение из интервала . Учитывая соотношения (6) и то, что n1 = 2m + 1, максимальная масса Pm такого груза равна
(7)
Пусть P — масса в граммах уравновешиваемого груза, выражаемая любым целым числом из интервала [1, N]. Достаточно рассмотреть лишь случай, когда P > Pm, т. е. Р = Pm + p, где p — произвольное целое число отрезка [1, nm+1].
Предположим для определенности, что на левую чашку весов поместили указанный груз P, а на правую, чтобы этот груз уравновесить, (m+1)-й кусок цепочки и некоторое сочетание разновесов общей массой, составленной из имеющихся разомкнутых звеньев и кусков цепочки. Чашки весов находятся в равновесии тогда и только тогда, когда выполняется равенство Р = nm+1 + x, т. е., если
(8)

Отсюда, так как 1 ≤ p ≤ nm+1, имеем

(9)
Условие, выражающее возможность составить из имеющихся разновесов (без последнего (m + 1)-го куска цепочки) массу х, состоит в выполнении неравенства
(10)
(отрицательное значение х означает, что система разновесов размещается вместе с грузом P на левой чашке весов). Из этого неравенства следует требование nm+1 ≤ 2Pm + 1, которое, учитывая равенства Pm + nm+1 = N и (7), эквивалентно неравенству (1)

и, значит,
(11)
Таким образом, для заданного N можно вычислить минимальное значение m, для которого выполняется неравенство (11), и затем уже по формуле (6) вычислить «длины» кусков {ni} требуемых разновесов, а по формуле (3) — порядковые номера размыкаемых звеньев цепочки.
Заметим, правая часть Nmax неравенства (11) есть точная верхняя оценка максимального числа N звеньев у цепочки, размыкание m звеньев которой позволит выполнить требование задачи. Приведем значения Nmax для нескольких значении m.
m 1 2 3 4 5
Nmax 13 67 283 1093 4009

Из этой таблички следует, что для изготовления указанных в задаче разновесов из цепочек, состоящих, например, из 60 и 150 звеньев, достаточно разомкнуть не более двух и трех звеньев соответственно. Соотношения (3) и (6) позволяют определить номера этих звеньев: в 60-звенной цепочке необходимо разомкнуть 6-е и 22-е звенья, а в 150-звенной - 8-е, 30-е и 94-е. При этом из 60-звенной цепочки будут получены 5 разновесов, состоящих из 1, 1, 5, 15 и 38 звеньев, а из 150-звенной цепочки - 7 разновесов, в которых соответственно 1, 1, 1, 7, 21, 63 и 56 звена. Покажем, как при помощи разновесов, изготовленных из 60-звенной цепочки, на чашечных весах можно уравновесить груз, масса которого в граммах может принимать любое целочисленное значение между 22 и 38 (уравновешивание груза другой массы, допустимой в задаче, сложности не вызывает).
23 = 38 - 15
24 = 38 - 15 + 1
25 = 38 - 15 + 1 + 1
26 = 38 - 15 + 5 - 1 - 1
27 = 38 - 15 + 5 - 1
28 = 38 - 15 + 5
29 = 38 - 15 + 5 + 1
30 = 38 - 15 + 5 + 1 + 1
31 = 38 - 5 - 1 -1
32 = 38 - 5 - 1
33 = 38 - 5
34 = 38 - 5 + 1
35 = 38 - 5 + 1 + 1
36 = 38 - 1 - 1
37 = 38 - 1